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        公务员行测数学运算:不定方程解析

        Tag: 公务员数学运算 2011-01-06    来源:福建公务员考试网 字号: T | T | T 我要提问我要提问
          近几年的福建公务员考试行测考试数量关系中,对于不定方程的应用比较多,从出题惯性上来说是比较热门的,但是由于不定方程的求解本身极具科研价值,所以对于不定方程的考察不可能倾向于学术性的考察,但是对于不定方程基本性质的考察却是出题的热点。

          不定方程的概念
          首先我们需要说明一下什么是不定方程,从最基本的数学知识点出发,我们知道方程可解,是一个方程组对应一个方程解,但是这里是需要满足一定的条件,这里的条件就是未知数的个数要等于方程的个数。比如:x=3。这里是一个未知数对应一个方程,方程只有一个确定的解,即x=3。
          再进一步延伸可以得到,对于方程组x+y=2,x-y=1。两个未知数对应两个方程,我们都可以得到一个确定的解,而且解只有一个。但是,当未知数的个数多余方程的个数的时候,我们得到的方程就是不定方程。比如:x+y=2,两个位置数对应一个方程。对于这个不定方程的解,我们可以得到:x=0,y=2;x=1,y=1;x=2,y=0;……其解得个数在不限制其他条件的情况下是无限多的,这就是不定方程最基本的性质。

          不定方程的应用情况
          1、首先是来源于“鸡兔同笼”方程组的应用,即二元一次方程。
          【例1】工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个,工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个,现在两人各花20分钟,共生产螺丝和螺丝帽134个,问生产的螺丝比螺丝帽多几个?( )
          A. 34个  B. 32个  C. 30个  D. 28个
          此题当中,我们可以首先假设甲、乙两人20分钟生产的都是螺丝,则一共可生产(3+2)×20=100个, 但是螺丝和螺丝帽共生产了134个,相差的34个零件一定是因为做螺丝帽多出来的,而甲做一分钟螺丝帽可以多生产出9-3=6个零件,乙做一分钟螺丝帽可以多生产出7-2=5个零件。设甲、乙分别生产了x、y分钟螺丝帽,则有6x+5y=34,x只能取4,则y=2,所以甲乙共生产螺丝帽4×9+2×7=50个,螺丝134-50=84个,螺丝比螺丝帽多34个。所以选A。
          【例2】装某种产品的盒子有大、小两种,大盒每盒能装11个,小盒每盒能装8个,要把89个产品装入盒内,要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个( )?
          A. 3,7   B. 4,6   C. 5,4   D. 6,3
          在这个题目中,我们求解时首先必然是列方程,设大、小盒子的个数各为x,y。则有,11x+8y=89。有且仅有这样一个方程,而这一个方程就是不定方程,由不定方程的性质我们可以知道,其解得个数可以是无限多的,但是由于这里盒子的个数应该是整数,故其解应该是比较确定的值,但是依然无法直接求解,故此类不定方程我们采用带入排除的方式进行解题。答案只有A满足。
          这类题目当中,需要我们得到不定方程的整数解而不是所有解,对于解的限制我们可以得到一个确定的解。
          2、不定方程类的问题再进一步的推广,有下面3元一次方程组的应用。
          【例】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱( )
          A.10元  B.11元  C.17元  D.21元
          在这个题目当中,我们可设签字笔、圆珠笔、铅笔的钱数各为x、y、z,列方程可以得到,3x+7y+z=32, 4x+10y+z=43。 我们要求x+y+z=?,但是所列方程组为3个未知数,2个方程,是一个不定方程组,其解得个数是无限多的,但是由不定方程组的性质我们可以知道,不定方程组的任意一组解都满足x+y+z=?这个等式,故我们只需要得到此方程组的一个特解就可以,可以令y=0,则有3x+z=32, 4x+z=43。解得x=11,z=-1,则有x+y+z=10,故该题答案选A。
          对于不定方程类问题的考察,近年来在公务员考试中趋向于逐渐复杂化,因此对于不定方程的学习和练习要进行系统总结,并强化提高。

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